6567. Окружность, вписанная в угол с вершиной O
касается его сторон в точках A
и B
, K
— произвольная точка на меньшей из двух дуг AB
этой окружности. На прямой OB
взята точка L
такая, что прямые OA
и KL
параллельны. Пусть M
— точка пересечения окружности \omega
, описанной около треугольника KLB
, с прямой AK
, отличная от K
. Докажите, что прямая OM
касается окружности \omega
.
Решение. Обозначим \angle OAK=\alpha
. Поскольку OA\parallel KL
, то
\angle LKM=\angle OAK=\alpha.
По теореме об угле между касательной и хордой
\angle ABK=\angle OAK=\alpha.
Вписанные в окружность \omega
углы LKM
и LBM
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle LBM=\angle LKM=\alpha.
Тогда из точек A
и B
, лежащих по одну сторону от прямой OM
, отрезок OM
виден под одним и тем же углом \alpha
. Значит, точки A
, B
, O
и M
лежат на одной окружности. Поэтому
\angle OMK=\angle OMA=\angle OBA=\angle OBK+\angle ABK=
=\angle OBK+\alpha=\angle OBK+\angle OBM=\angle KBM=\angle LBM.
Тогда по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), OM
— касательная к окружности \omega
.