6570. Пусть AD
— биссектриса треугольника ABC
и прямая l
касается окружностей, описанных около треугольников ADB
и ADC
, в точках M
и N
соответственно. Докажите, что окружность, проходящая через середины отрезков BD
, DC
и MN
касается прямой l
.
Решение. Первый способ. Обозначим центры окружностей, описанных около треугольников ADB
и ADC
через O_{1}
и O_{2}
(рис. 1), а середины отрезков BD
, DC
, MN
, DO_{2}
и O_{1}O_{2}
— через A_{1}
, A_{2}
, K
, E
и O
соответственно. Пусть \angle BAD=\angle CAD=\alpha
. Тогда
\angle BO_{1}D=\angle DO_{2}C=2\alpha,~\angle A_{1}O_{1}D=\angle A_{2}O_{2}D=\alpha,
\angle O_{1}DO_{2}=180^{\circ}-(\angle BDO_{1}+\angle CDO_{2})=
=180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)-(90^{\circ}-\alpha)=2\alpha.
Отрезок OK
— средняя линия трапеции (или прямоугольника) O_{1}MNO_{2}
, поэтому OK\perp l
и
OK=\frac{O_{1}M+O_{2}N}{2}=\frac{O_{1}D+O_{2}C}{2}=\frac{O_{1}D}{2}+\frac{O_{2}C}{2}=OE+EA_{2}.
Заметим, что точки E
, O
и A_{2}
лежат на одной прямой, так как
\angle OEO_{2}+\angle O_{2}EA_{2}=\angle O_{1}DO_{2}+\angle O_{2}EA_{2}=
=\angle O_{1}DO_{2}+(180^{\circ}-\angle DO_{2}C)=2\alpha+(180^{\circ}-2\alpha)=180^{\circ}.
Значит, OA_{2}=OE+EA_{2}=OK
. Аналогично докажем, что OA_{1}=OK
. Поэтому точки A_{1}
, A_{2}
и K
лежат на окружности с центром O
, а так как OK\perp l
, то эта окружность касается прямой l
.
Случай, когда вместо прямой l
рассматривается прямая l_{1}
, разбирается аналогично.
Второй способ. Пусть радиусы окружностей \omega_{1}
и \omega_{2}
с центрами O_{1}
и O_{2}
, описанных около треугольников ADB
и ADC
, равны R_{1}
и R_{2}
соответственно. Если эти радиусы различны, то прямая l
пересекает линию центров O_{1}O_{2}
в некоторой точке Q
(рис. 2). Пусть QD
пересекает эти окружности в точках B'
и C'
соответственно, а QA
пересекает окружность \omega_{1}
в точке A'
, отличной от A
.
При гомотетии H
с центром Q
и коэффициентом k=\frac{R_{1}}{R_{2}}
точки C'
, D
и A
переходят в точки D
, B'
и A'
соответственно, следовательно, \angle DAC'=\angle B'A'D
. С другой стороны, \angle B'A'D=\angle B'AD
, поэтому \angle B'AD=\angle C'AD
. А это означает, что точки B'
и C'
совпадают с точками B
и C
, так как в противном случае один из углов BAD
и CAD
был бы меньше \alpha
, а другой — больше \alpha
(\alpha=\angle B'AD=\angle C'AD
).
Рассмотрим гомотетию H_{1}
с центром Q
, переводящую \omega_{2}
в окружность \omega
, проходящую через точку E
— середину отрезка MN
. Из того, что l
проходит через точку O
и \omega
касается l
следует, что \omega
касается l
в точке E
. Кроме того, из гомотетичности треугольников QNC
и QMD
(гомотетия H
) следует, что NC\parallel MD
. Кроме того H_{1}(C)=C_{1}
, где EC_{1}\parallel NC
. Поэтому EC_{1}
— средняя линия трапеции CNMD
, т. е. гомотетия H_{1}
переводит точку C
в середину DC
. Аналогично, она переводит D
в середину отрезка BD
. Значит, \omega
проходит через середины отрезков BD
и DC
.
Если же R_{1}=R_{2}
, то вместо гомотетии следует рассмотреть параллельный перенос на вектор \overrightarrow{O_{2}O_{1}}
.