6577. На диагонали AC
ромба ABCD
взята произвольная точка E
, отличная от точек A
и C
, а на прямых AB
и BC
— точки N
и M
соответственно, причём AE=NE
и CE=ME
. Пусть K
— точка пересечения прямых AM
и CN
. Докажите, что точки K
, E
и D
лежат на одной прямой.
Решение. Первый способ. Рассмотрим случай, когда точки N
и M
лежат на сторонах ромба. Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Обозначим \angle BAC=\angle BCA=\alpha
. Пусть окружности, описанные около равнобедренных треугольников ANE
и CME
пересекаются в точке K_{1}
, отличной от E
. Тогда
\angle AK_{1}E=\angle ANE=\alpha,~\angle EK_{1}M=180^{\circ}-\angle ECM=180^{\circ}-\alpha,
поэтому
\angle AK_{1}E+\angle EK_{1}M=180^{\circ}.
Значит, точки A
, K_{1}
и M
лежат на одной прямой. Аналогично, точки C
, K_{1}
и N
также лежат на одной прямой. Следовательно, точка K_{1}
совпадает с точкой K
пересечения прямых AM
и CN
.
Поскольку
\angle ANE=\alpha=\angle BCE,
четырёхугольник BNEC
— вписанный. Значит, точки B
, N
, E
и C
лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы BEN
и BCN
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Значит,
\angle BEN=\angle BCN=\angle MCK=\angle MEK.
Поскольку точки B
и D
симметричны относительно прямой AC
, то \angle DEA=\angle BEA
, поэтому
\angle DEA=\angle BEA=\angle BEN+\angle AEN=
=\angle BEN+(180^{\circ}-2\alpha)=\angle MEK+(180^{\circ}-2\alpha)=\angle MEK+\angle CEM=\angle KEC.
Следовательно, точки K
, E
и D
лежат на одной прямой.
Второй способ (П.Липкин). Рассмотрим случай, когда точки N
и M
лежат на сторонах ромба. Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Обозначим \angle BAC=\angle BCA=\alpha
. Поскольку
EC=EM,~EN=EA,
\angle CEN=\angle CEM+\angle MEN=(180^{\circ}-2\alpha)+\angle MEN=\angle AEN+\angle MEN=\angle AEM,
треугольники CEN
и MEA
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, \angle ENC=\angle KAE
. Поэтому точки A
, N
, K
, E
лежат на одной окружности. Аналогично, точки C
, M
, K
, E
также лежат на одной окружности. Следовательно,
\angle AKE=\angle ANE=\angle EAN=\alpha=\angle ECM=\angle EMC=\angle CKE,
т. е. KE
— биссектриса угла AKC
.
Поскольку \angle ADC=180^{\circ}-2\alpha
, а \angle AKC=2\alpha
, четырёхугольник AKCD
— вписанный. Продолжение биссектрисы KE
треугольника AKC
пересекает описанную окружность этого четырёхугольника в середине дуги AC
, не содержащей точки K
, т. е. в точке D
. Следовательно, точки K
, E
и D
лежат на одной прямой.