6578. На стороне AC
остроугольного треугольника ABC
выбрана точка D
. Медиана AM
пересекает высоту CH
и отрезок BD
в точках N
и K
соответственно. Докажите, что если AK=BK
, то AN=2KM
.
Решение. Пусть E
— проекция точки K
на сторону AB
. Поскольку AK=BK
, то E
— середина AB
, поэтому EM
— средняя линия треугольника ABC
. Значит, EM\parallel AC
и EM=\frac{1}{2}AC
.
Кроме того, EK\parallel CH
, поэтому треугольники EKM
и CNA
подобны по двум углам. Значит,
\frac{AN}{KM}=\frac{AC}{EM}=2.
Следовательно, AN=2KM
.