6586. Дан треугольник ABC
. Точка A_{1}
симметрична вершине A
относительно прямой BC
, а точка C_{1}
симметрична вершине C
относительно прямой AB
. Докажите, что если точки A_{1}
, B
и C_{1}
лежат на одной прямой и C_{1}B=2A_{1}B
, то угол CA_{1}B
— прямой.
Решение. Обозначим \angle ABC=\beta
, AB=c
. Поскольку точка A_{1}
симметрична вершине A
относительно прямой BC
, то \angle A_{1}BC=\angle ABC=\beta
и BA_{1}=BA=c
. Аналогично, \angle C_{1}BA=\angle ABC=\beta
и BC_{1}=BC
, а так как BC_{1}=2BA_{1}
, то BC=BC_{1}=2c
.
По условию задачи точки A_{1}
, B
и C_{1}
лежат на одной прямой, поэтому
\angle A_{1}BC+\angle CBA+\angle ABC_{1}=180^{\circ},
или 3\beta=180^{\circ}
. Отсюда находим, что \beta=60^{\circ}
.
Рассмотрим треугольник BA_{1}C
. В нём A_{1}B=c
, BC=2c
и \angle CBA_{1}=60^{\circ}
. Следовательно, этот треугольник — прямоугольный, \angle BA_{1}C=90^{\circ}
.