6594. Дан параллелограмм ABCD
с углом A
, равным 60^{\circ}
. Точка O
— центр окружности, описанной около треугольника ABD
. Прямая AO
пересекает биссектрису внешнего угла C
в точке K
. Найдите отношение \frac{AO}{OK}
.
Ответ. 2:1
.
Решение. Угол при вершине A
треугольника ABC
— острый, поэтому вершина A
и центр O
описанной окружности этого треугольника лежат по одну сторону от прямой BD
. Поскольку BOD
— центральный угол этой окружности, а BAD
— вписанный, то
\angle BOD=2\angle BAD=2\cdot60^{\circ}=120^{\circ},
а так как \angle BCD=\angle BAD=60^{\circ}
, то \angle BOD+\angle BCD=180^{\circ}
. Значит, четырёхугольник OBCD
— вписанный.
Пусть O_{1}
— центр описанной окружности треугольника CDB
, M
— точка пересечения серединного перпендикуляра к OC
с прямой OC
, R
— радиус окружностей, описанных около равных треугольников ABD
и CDB
.
В равных треугольниках CDB
и ABD
соответствующие отрезки O_{1}C
и OA
образуют равные углы с соответствующими сторонами BC
и AD
, а так как BC\parallel AD
, то O_{1}C\parallel OA
, а значит, O_{1}C\parallel OM
. С другой стороны, так как отрезок OC
делится прямой OM
пополам, то OM=O_{1}C=R
.
Поскольку вписанные углы BCO
и DCO
опираются на равные хорды OB
и OD
, то CO
— биссектриса угла BCD
, а так как CK
— биссектриса смежного с ним угла, то \angle OCK=90^{\circ}
. Прямые O_{1}M
и CK
перпендикулярны прямой OC
, поэтому они параллельны, а так как CO_{1}\parallel MK
, то O_{1}CKM
— параллелограмм. Следовательно,
MK=O_{1}C=R=OM,~OK=OM+MK=R+R=2R=2AO,
т. е.
\frac{AO}{OK}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}.