6595. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
провели биссектрисы l_{a}
, l_{b}
, l_{c}
и l_{d}
внешних углов при вершинах A
, B
, C
и D
соответственно. Точки пересечения прямых l_{a}
и l_{b}
, l_{b}
и l_{c}
, l_{c}
и l_{d}
, l_{d}
и l_{a}
обозначили через K
, L
, M
и N
. Известно, что три перпендикуляра, опущенных из точки K
на AB
, из L
на BC
, из M
на CD
пересекаются в одной точке. Докажите, что четырёхугольник ABCD
вписанный.
Решение. Обозначим через O
точку пересечения перпендикуляров из точки K
на AB
, из L
на BC
, из M
на CD
. Обозначим также
\angle BAK=\angle DAN=\alpha,~\angle CBL=\angle ABK=\beta,
\angle DCM=\angle BCL=\gamma,~\angle ADN=\angle CDM=\delta.
Тогда
2(\alpha+\beta+\gamma+\delta)=360^{\circ}
как сумма внешних углов четырёхугольника ABCD
, взятых по одному при каждой вершине.
Из треугольников AKB
и CMD
находим тогда, что
\angle AKB+\angle CMD=(180^{\circ}-\alpha-\beta)+(180^{\circ}-\gamma-\delta)=
=360^{\circ}-(\alpha+\beta+\gamma+\delta)=360^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ}.
Значит, четырёхугольник KLMN
— вписанный. По условию задачи LO\perp BC
и OM\perp CD
, поэтому
\angle CLO=90^{\circ}-\gamma,~\angle CMO=90^{\circ}-\gamma.
Значит, треугольник OLM
— равнобедренный, LO=OM
. Аналогично, LO=OK
. Следовательно, O
— центр описанной окружности четырёхугольника KLMN
.
Поскольку LOM
и LOK
— центральные углы этой окружности, а LNM
и LNK
— вписанные, то
\angle LNM=\frac{1}{2}\angle LOM=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2(90^{\circ}-\gamma))=\gamma,
\angle LNK=\frac{1}{2}\angle LOK=\frac{1}{2}(180^{\circ}-2(90^{\circ}-\beta))=\beta.
Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке X
(для определённости будем считать, что X
лежит на луче BA
). Поскольку L
— точка пересечения биссектрис внешних углов при вершинах B
и C
треугольника BXC
, то она лежит на биссектрисе внутреннего угла при вершине X
этого треугольника. Аналогично, точка N
лежит на той же биссектрисе. Таким образом, прямая LN
содержит биссектрису угла, образованного прямыми AB
и CD
, либо параллельна AB
и CD
, если AB\parallel CD
. В любом случае, прямая LN
образует равные углы с AB
и CD
.
Рассмотрим случай пересечения прямых AB
и CD
. Поскольку LNM
и LNK
— внешние углы треугольников DXN
и AXN
, а по доказанному \angle DXN=\angle AXN
, то
\angle LNM-\angle CDM=\angle LNK-\angle BAK,~\mbox{или}~\gamma-\delta=\beta-\alpha,
Значит,
\alpha+\gamma=\beta+\delta=90^{\circ}.
Тогда
\angle BAD+\angle BCD=(180^{\circ}-2\alpha)+(180^{\circ}-2\gamma)=
=360^{\circ}-2(\alpha+\gamma)=360^{\circ}-2\cdot90^{\circ}=180^{\circ}.
Следовательно, ABCD
— вписанный четырёхугольник, что и требовалось доказать.