6602. Окружность центром O
, вписанная в четырёхугольник ABCD
, касается его сторон BC
, CD
и AD
в точках E
, F
и K
соответственно. Прямые EF
и AD
пересекаются в точке M
. Докажите, что MO\perp CK
.
Решение. Первый способ. Пусть прямые OC
и EF
пересекаются в точке T
. Тогда T
— середина EF
и OC\perp EF
(см. задачу 1180). Отрезок FT
— высота прямоугольного треугольника OFC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
OT\cdot OC=OF^{2}=R^{2}=OK^{2},
где R
— радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD
. Значит, \frac{OT}{OK}=\frac{OK}{OC}
. Тогда треугольники COK
и KOT
подобны по двум сторонам и углу между ними, поэтому \angle OCK=\angle OKT
.
Из точек K
и T
отрезок MO
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром MO
. Вписанные в эту окружность углы OKT
и OMT
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle OKT=\angle OMT
. Следовательно, \angle OCK=\angle OMT
.
Пусть S
— точка пересечения CK
и MO
. Из точек C
и M
, лежащих по одну сторону от прямой ST
, отрезок ST
виден под одним и тем же углом, значит, точки S
, T
, C
и M
лежат на одной окружности, а так как \angle CTM=90^{\circ}
, то CM
— диаметр этой окружности. Следовательно, \angle MSC=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть прямые OC
и EF
пересекаются в точке T
. При инверсии относительно вписанной окружности четырёхугольника ABCD
точка K
остаётся на месте, а так как OT\cdot OC=OE^{2}=R^{2}
, то точка T
переходит в C
.
Из точек K
и T
отрезок MO
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром MO
. Эта окружность проходит через центр рассматриваемой инверсии, поэтому она переходит в прямую CK
. Следовательно, OM\perp CK
(см. задачу 6111).
Третий способ. Пусть прямые OC
и EF
пересекаются в точке T
, \omega
— вписанная окружность четырёхугольника ABCD
. Из точек K
и T
отрезок MO
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности \omega_{1}
с диаметром MO
. Пусть L
— отличная от K
точка пересечения окружностей \omega
и \omega_{1}
. Тогда LK
— радикальная ось этих окружностей (см. задачу 6392).
Точка T
— середина EF
и OC\perp EF
(см. задачу 1180). Отрезок ET
— высота прямоугольного треугольника OEC
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
EC^{2}=OC\cdot CT.
Значит, степени точки C
относительно окружностей \omega
и \omega_{1}
равны, поэтому точка C
лежит на радикальной оси этих окружностей. Следовательно, линия центров этих окружностей, т. е. прямая MO
, перпендикулярна CK
.