6607. Дан треугольник ABC
. Рассматриваются прямые l
, обладающие следующим свойством: три прямые, симметричные l
относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке. Докажите, что все такие прямые проходят через одну точку.
Решение. Пусть прямые, симметричные l
, пересекаются в точке P
, а P_{A}
, P_{B}
и P_{C}
— точки, симметричные P
относительно прямых BC
, AC
и AB
соответственно. Тогда точки P_{A}
, P_{B}
и P_{C}
лежат на прямой l
, а середины отрезков PP_{A}
, PP_{B}
и PP_{C}
, т. е. проекции точки P
на прямые BC
, AC
и AB
, лежат на прямой, гомотетичной l
с центром P
и коэффициентом \frac{1}{2}
. Следовательно, точка P
лежит на описанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 6088), а прямая, на которой лежат эти середины — есть прямая Симсона точки P
.
Кроме того, так как прямая Симсона точки P
делит пополам отрезок между P
и ортоцентром H
треугольника ABC
(см. задачу 6093), то l
проходит через H
.