6609. Пусть BM
— медиана прямоугольного треугольника ABC
(\angle B=90^{\circ}
). Окружность, вписанная в треугольник ABM
, касается сторон AB
и AM
в точках A_{1}
и A_{2}
соответственно. Аналогично определяются точки C_{1}
и C_{2}
. Докажите, что прямые A_{1}A_{2}
и C_{1}C_{2}
пересекаются на биссектрисе угла ABC
.
Указание. A_{1}A_{2}
и C_{1}C_{2}
— биссектрисы внешних углов треугольника A_{1}BC_{1}
.
Решение. Поскольку AA_{1}=AA_{2}
, треугольники ABM
и CBM
равнобедренные. Точки A_{1}
и C_{1}
— середины соответствующих катетов, поэтому A_{1}C_{1}
— средняя линия треугольника ABC
, A_{1}C_{1}\parallel AC
. Значит,
\angle C_{1}A_{1}A_{2}=\angle AA_{2}A_{1}=\angle AA_{1}A_{2},
т. е. луч A_{1}A_{2}
— биссектриса внешнего угла AA_{1}C_{1}
треугольника A_{1}BC_{1}
. Аналогично C_{1}C_{2}
— биссектриса внешнего угла CC_{1}A_{1}
треугольника A_{1}BC_{1}
.
Биссектрисы двух внешних и третьего внутреннего угла треугольника пересекаются в одной точке — центре вневписанной окружности треугольника (см. задачу 1192). Следовательно, точка пересечения прямых A_{1}A_{1}
и C_{1}C_{2}
лежит на биссектрисе угла ABC
.