6616. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон AB
и AC
в точках M
и N
. Через середину стороны BC
проведена прямая l_{A}
, перпендикулярная MN
. Аналогично определяются прямые l_{B}
и l_{C}
. Докажите, что прямые l_{A}
, l_{B}
и l_{C}
пересекаются в одной точке.
Указание. Рассмотрите гомотетию с центром в точке пересечения медиан и коэффициентом -\frac{1}{2}
.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда AI\perp MN
, значит, l_{A}\parallel AI
.
При гомотетии с центром в точке пересечения медиан треугольника ABC
и коэффициентом -\frac{1}{2}
треугольник ABC
переходит в треугольник с вершинами в серединах сторон треугольника ABC
, поэтому прямая AI
, содержащая биссектрису угла A
, переходит в параллельную ей прямую l_{A}
. Аналогично для прямых BI
и CI
, а так как биссектрисы треугольника пересекаются в точке I
, то прямые l_{A}
, l_{B}
и l_{C}
пересекаются в одной точке — образе точки I
при рассматриваемой гомотетии.