6622. На стороне AB
прямоугольника ABCD
выбрана точка M
. Через эту точку проведён перпендикуляр к прямой CM
, который пересекает сторону AD
в точке E
. Точка P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки M
на прямую CE
. Найдите угол APB
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle BCM=\alpha
. Тогда
\angle BMC=90^{\circ}-\alpha,~\angle AME=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha,~\angle AEM=90^{\circ}-\alpha.
Из точек B
и P
отрезок CM
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром CM
. Вписанные в эту окружность углы BPM
и BCM
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle BPM=\angle BCM=\alpha
. Аналогично докажем, что \angle APM=90^{\circ}-\alpha
. Следовательно,
\angle APB=\angle APM+\angle BPM=(90^{\circ}-\alpha)+\alpha=90^{\circ}.