6628. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известны углы: \angle BAC=40^{\circ}
, \angle BCA=70^{\circ}
, \angle BDC=20^{\circ}
, \angle BDA=35^{\circ}
. Найдите угол между диагоналями этого четырёхугольника.
Ответ. 75^{\circ}
.
Решение. Опишем окружность около треугольника ABC
. Пусть луч BD
пересекает эту окружность в точке E
. Поскольку
\angle AEC=180^{\circ}-\angle ABC=\angle BAC+\angle BCA=40^{\circ}+70^{\circ}=110^{\circ}\gt55^{\circ}=\angle ADC,
точка E
лежит на отрезке BD
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle DCE=\angle BEC-\angle BDC=40^{\circ}-20^{\circ}=20^{\circ}=\angle CDE,
значит, EC=ED
. Аналогично получим, что ED=EA
. Следовательно, E
— центр описанной окружности треугольника ADC
.
Пусть M
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
. Из равнобедренного треугольника AEC
находим, что \angle ACE=35^{\circ}
. Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BMC=\angle CDM+\angle DCM=\angle CDE+(\angle DCE+\angle ACE)=
=20^{\circ}+(20^{\circ}+35^{\circ})=75^{\circ}.