6652. Через вершину A
равностороннего треугольника ABC
проведена прямая, не пересекающая отрезок BC
. По разные стороны от точки A
на этой прямой взяты точки M
и N
так, что AM=AN=AB
(точка B
внутри угла MAC
). Докажите, что прямые AB
, AC
, BN
, CM
образуют вписанный четырёхугольник.
Решение. Пусть прямые BN
и CM
пересекаются в точке P
. Обозначим \angle BAM=\alpha
, \angle CAN=\beta
. Тогда \alpha+\beta=120^{\circ}
.
Треугольник BAN
— равнобедренный, поэтому по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ANP=\angle ANB=\frac{1}{2}\angle MAB=\frac{\alpha}{2}.
Аналогично
\angle AMP=\angle AMC=\frac{\beta}{2}.
Тогда
\angle MPN=180^{\circ}-\angle PNM-\angle PMN=180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}-\frac{\beta}{2}=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.
Следовательно,
\angle BAC+\angle MPN=60^{\circ}+120^{\circ}=180^{\circ},
что равносильно утверждению задачи.
