6662. Пусть O
— центр правильного треугольника ABC
. Из произвольной точки P
плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через M
точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях перпендикуляров. Докажите, что M
— середина отрезка PO
.
Решение. Пусть K_{1}
, K_{2}
, K_{3}
— проекции точки P
на стороны BC
, AC
и AB
соответственно. Тогда
3\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{PK_{1}}+\overrightarrow{PK_{2}}+\overrightarrow{PK_{3}},
3\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}
(см. задачу 4505).
Через точку P
проведём три прямые, параллельные сторонам BC
, AC
и AB
. Эти прямые разбивают треугольник ABC
на три параллелограмма и три равносторонних треугольника PA_{1}A_{2}
, PB_{1}B_{2}
, PC_{1}C_{2}
(см. рисунок) с медианами PK_{1}
, PK_{2}
, PK_{3}
. Тогда
\overrightarrow{PK_{1}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PA_{1}}+\overrightarrow{PA_{2}}),~\overrightarrow{PK_{2}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PB_{1}}+\overrightarrow{PB_{2}}),~\overrightarrow{PK_{3}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{PC_{1}}+\overrightarrow{PC_{2}})
(см. задачу 4500). Кроме того,
\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PB_{2}}+\overrightarrow{PC_{1}},~\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PA_{1}}+\overrightarrow{PC_{2}},~\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PA_{2}}+\overrightarrow{PB_{1}}.
Значит,
3\overrightarrow{PO}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=
=(\overrightarrow{PB_{2}}+\overrightarrow{PC_{1}})+(\overrightarrow{PA_{1}}+\overrightarrow{PC_{2}})+(\overrightarrow{PA_{2}}+\overrightarrow{PB_{1}})=
=(\overrightarrow{PB_{2}}+\overrightarrow{PC_{1}})+(\overrightarrow{PA_{1}}+\overrightarrow{PC_{2}})+(\overrightarrow{PA_{2}}+\overrightarrow{PB_{1}})=
=(\overrightarrow{PA_{1}}+\overrightarrow{PA_{2}})+(\overrightarrow{PB_{1}}+\overrightarrow{PB_{2}})+(\overrightarrow{PC_{1}}+\overrightarrow{PC_{2}})=
=2\overrightarrow{PK_{1}}+2\overrightarrow{PK_{2}}+2\overrightarrow{PK_{3}}=2(\overrightarrow{PK_{1}}+\overrightarrow{PK_{2}}+\overrightarrow{PK_{3}})=2\cdot3\overrightarrow{PM}.
Следовательно, \overrightarrow{PM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{PO}
, а это и означает, что точка M
— середина отрезка PO
.
Примечание. Эти же рассуждения проходят и в случае, когда точка P
расположена вне треугольника ABC
.