6663. Внутри квадрата ABCD
взята точка E
, а вне — точка F
так, что треугольники ABE
и CBF
равны. Найдите углы треугольника ABE
, если известно, что отрезок EF
равен стороне квадрата, а угол BFD
— прямой.
Ответ. 30^{\circ}
, 15^{\circ}
, 135^{\circ}
.
Решение. Из точек A
, F
и C
отрезок BD
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BD
, т. е. на описанной около квадрата окружности. Угол AEB
— тупой, поэтому равный ему угол CFB
— также тупой. Значит, \angle AEB=\angle CFB=135^{\circ}
, а так как \angle ABE=\angle CBF
, то \angle EBF=90^{\circ}
.
Из равнобедренного прямоугольного треугольника EBF
получаем, что \frac{BE}{EF}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{BE}{AB}
. По теореме синусов \frac{BE}{\sin\angle BAE}=\frac{AB}{\sin\angle AEB}
, откуда
\sin\angle BAE=\frac{BE\sin\angle AEB}{AB}=\frac{BE}{AB}\cdot\sin135^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}.
Следовательно, \angle BAE=30^{\circ}
, \angle ABE=15^{\circ}
.