6691. На прямой лежат точки X
, Y
, Z
(именно в таком порядке). Треугольники XAB
, YBC
, ZCD
— правильные, причём вершины первого и третьего ориентированы против часовой стрелки, а второго — по часовой стрелке. Докажите, что прямые AC
, BD
и XY
пересекаются в одной точке.
Решение. Через \angle(k,l)
будем обозначать направленный угол между прямыми k
и l
(считающийся против часовой стрелки).
При повороте на 60^{\circ}
по часовой стрелке вокруг B
точки A
и C
переходят соответственно в X
и Y
. Следовательно, \angle(XY,AC)=60^{\circ}
. Пусть P
— точка пересечения прямых XY
и AC
. Тогда
\angle(XP,AP)=60^{\circ}=\angle(XB,AB),
т. е. точки A
, X
, P
, B
лежат на одной окружности (см. задачу 873). Отсюда
\angle(CP,PB)=\angle(AX,XB)=60^{\circ}=\angle(CY,YB),
т. е. точки B
, C
, P
, Y
также лежат на одной окружности. Таким образом, точка P
является второй точкой пересечения прямой XZ
и описанной окружности треугольника BCY
. Аналогично показывается, что прямая BD
также проходит через эту точку. (В случае, если эти окружность и прямая касаются, получаем что точки P
и Y
совпадают, и все три прямые проходят через Y
.)
