6722. Дан треугольник ABC
площади 1. Из вершины B
опущен перпендикуляр BM
на биссектрису угла C
. Найдите площадь треугольника AMC
.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. Первый способ. Продолжим отрезок BM
до пересечения со стороной AC
в точке K
. Треугольник BCK
равнобедренный, так как его биссектриса CM
является высотой. Тогда CM
— медиана треугольника BCK
, а AM
— медиана треугольника ABK
. Значит, треугольник CMK
равновелик треугольнику CMB
, а треугольник AMK
— треугольнику AMB
. Следовательно, площадь треугольника AMC
составляет половину площади треугольника ABC
, т. е. равна \frac{1}{2}
.
Второй способ. Проведём через точку B
прямую, параллельную AC
, до пересечения с биссектрисой угла C
в точке N
. Поскольку
\angle BNC=\angle ACN=\angle BCN,
то треугольник BCN
— равнобедренный и BM
его медиана. Значит, AM
— медиана треугольника ANC
. Кроме того, так как BN\parallel AC
, то треугольники ANC
и ABC
равновелики. Следовательно,
S_{\triangle AMC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ANC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}.
Третий способ. Обозначим \angle ACB=\gamma
. Поскольку
S_{\triangle AMC}=\frac{1}{2}AC\cdot CM\sin\frac{\gamma}{2}~\mbox{и}~CM=BC\cos\frac{\gamma}{2},
то
S_{\triangle AMC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC\cos\frac{\gamma}{2}\cdot\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{4}AC\cdot BC\sin\gamma=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}.