6732. Вокруг четырёхугольника ABCD
можно описать окружность. Пусть прямые AB
и CD
пересекаются в точке M
, а прямые BC
и AD
— в точке K
(точки B
и D
лежат на отрезках AM
и AK
соответственно). Пусть P
— проекция точки M
на прямую AK
, L
— проекция точки K
на прямую AM
. Докажите, что прямая LP
делит диагональ BD
пополам.
Решение. Рассмотрим случай, когда \angle KBA\lt90^{\circ}
. Тогда точка L
лежит на стороне AB
, а так как
\angle MDK=180^{\circ}-\angle ADC=\angle KBA\lt90^{\circ},
то точка P
лежит на отрезке DK
.
Через точку D
проведём прямую, параллельную AM
. Пусть E
— точка пересечения этой прямой с LP
.
Прямоугольный треугольник KLB
подобен прямоугольному треугольнику MPD
по двум углам, поэтому \frac{BL}{KL}=\frac{DP}{MP}
.
Аналогично, прямоугольный треугольник KAL
подобен прямоугольному треугольнику MAP
, поэтому \frac{AL}{PA}=\frac{KL}{MP}
.
Треугольник DPE
подобен треугольнику APL
, поэтому \frac{DE}{AL}=\frac{PD}{PA}
.
Тогда
DE=AL\cdot\frac{DP}{PA}=\frac{AL}{PA}\cdot DP=\frac{KL}{MP}\cdot DP=KL\cdot\frac{DP}{MP}=KL\cdot\frac{BL}{KL}=BL.
Пусть LP
и BD
пересекаются в точке Q
. Тогда треугольники BQL
и DQE
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, Q
— середина BD
.
Аналогично для случая, когда \angle KBA\gt90^{\circ}
. Если \angle KBA=90^{\circ}
, то прямые PL
и BD
совпадают, и утверждение задачи очевидно.