6736. На сторонах выпуклого четырёхугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Докажите, что если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, проходят через точку пересечения диагоналей четырёхугольника.
Решение. Пусть ABCD
— данный выпуклый четырёхугольник, O
— точка пересечения его диагоналей, P
и Q
— центры квадратов ABEF
и CKLD
, построенных вне четырёхугольника.
Из точек P
и O
сторона AB
видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Вписанные в эту окружность углы AOP
и BOP
опираются на равные хорды AP
и BP
, поэтому \angle AOP=\angle BOP
. Значит, OP
— биссектриса угла AOB
. Аналогично, OQ
— биссектриса угла COD
. Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой, следовательно, отрезок PQ
проходит через точку O
.
Аналогично для отрезка, соединяющего центры двух других квадратов.