6739. На сторонах BC
, CA
и AB
треугольника ABC
во внешнюю сторону построены треугольники A_{1}BC
, B_{1}CA
и C_{1}AB
, причём \angle A_{1}BC=\angle C_{1}BA
, \angle C_{1}AB=\angle B_{1}AC
, \angle B_{1}CA=\angle A_{1}CB
. Докажите, что прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в одной точке.
Решение. Обозначим
BC=a,~CA=b,~AB=c,~\angle BAC=\alpha,~\angle ABC=\beta,~\angle ACB=\gamma,
\angle C_{1}AB=\angle B_{1}AC=x,~\angle A_{1}BC=\angle C_{1}BA=y,~\angle A_{1}CB=\angle B_{1}CA=z.~
Пусть отрезки AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекают стороны BC
, AC
и AB
в точках A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
соответственно. Из равенств
\frac{S_{\triangle A_{1}A_{2}C}}{S_{\triangle A_{1}A_{2}B}}=\frac{CA_{2}}{A_{2}B},~\frac{S_{\triangle AA_{2}C}}{S_{\triangle AA_{2}B}}=\frac{CA_{2}}{A_{2}B},~
(см. задачу 3000) следует, что
\frac{CA_{2}}{A_{2}B}=\frac{S_{\triangle ACA_{1}}}{S_{\triangle ABA_{1}}}=\frac{\frac{1}{2}AC\cdot CA_{1}\sin\angle ACA_{1}}{\frac{1}{2}AB\cdot BA_{1}\sin\angle ABA_{1}}=
=\frac{\frac{1}{2}b\cdot CA_{1}\sin(\gamma+z)}{\frac{1}{2}c\cdot BA_{1}\sin(\beta+y)}=\frac{b\cdot CA_{1}\sin(\gamma+z)}{c\cdot BA_{1}\sin(\beta+y)}.
Аналогично,
\frac{BC_{2}}{C_{2}A}=\frac{a\cdot BC_{1}\sin(\beta+y)}{b\cdot AC_{1}\sin(\alpha+x)},~\frac{AB_{2}}{B_{2}C}=\frac{c\cdot AB_{1}\sin(\alpha+x)}{a\cdot CB_{1}\sin(\gamma+z)}.
Кроме того, по теореме синусов
\frac{CA_{1}}{BA_{1}}=\frac{\sin y}{\sin z},~\frac{BC_{1}}{AC_{1}}=\frac{\sin x}{\sin y},~\frac{AB_{1}}{CB_{1}}=\frac{\sin z}{\sin x}.
Тогда
\frac{CA_{2}}{A_{2}B}\cdot\frac{BC_{2}}{C_{2}A}\cdot\frac{AB_{2}}{B_{2}C}=
=\frac{b\cdot CA_{1}\sin(\gamma+z)}{c\cdot BA_{1}\sin(\beta+y)}\cdot\frac{a\cdot BC_{1}\sin(\beta+y)}{b\cdot AC_{1}\sin(\alpha+x)}\cdot\frac{c\cdot AB_{1}\sin(\alpha+x)}{a\cdot CB_{1}\sin(\gamma+z)}=
=\frac{CA_{1}}{BA_{1}}\cdot\frac{BC_{1}}{AC_{1}}\cdot\frac{AB_{1}}{CB_{1}}=\frac{\sin y}{\sin z}\cdot\frac{\sin x}{\sin y}\cdot\frac{\sin z}{\sin x}=1
Следовательно, по теореме Чевы (см. задачу 1621) прямые AA_{2}
, BB_{2}
и CC_{2}
, а значит, и отрезки AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
, пересекаются в одной точке.
Примечание. В частности,
а) если треугольники A_{1}BC
, B_{1}CA
и C_{1}AB
равносторонние, то прямые AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в одной точке;
б) если на сторонах треугольника во внешнюю сторону построены квадраты, то три прямые, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной стороны квадрата, построенного на противоположной стороне треугольника, пересекаются в одной точке (задача 12857).