6742. Даны четыре точки A
, B
, C
, D
. Известно, что любые две окружности, одна из которых проходит через A
и B
, а другая — через C
и D
, пересекаются. Докажите, что общие хорды всех таких пар окружностей проходят через одну точку.
Решение. Рассмотрим сначала случай, когда точки не лежат на одной прямой. Если, например, C
и D
лежат по одну сторону от прямой AB
, то существует окружность \omega
, проходящая через C
и D
и касающаяся AB
(см. задачу 112). Тогда через A
и B
можно провести окружность достаточно большого радиуса, не пересекающую \omega
. Следовательно, отрезки AB
и CD
должны пересекаться.
Пусть O
— точка пересечения серединных перпендикуляров к этим отрезкам. Две окружности с центром O
и радиусами OA
и OC
либо не пересекаются, либо совпадают. Таким образом, точки A
, B
, C
, D
лежат на одной окружности. По теореме о радикальных осях трёх окружностей (см. задачу 6393) общая хорда любых двух окружностей, проходящих через A
, B
и C
, D
соответственно, проходит через точку пересечения AB
и CD
.
Если же все точки лежат на одной прямой, то, очевидно, что отрезки AB
и CD
пересекаются, а общая хорда окружностей пересекает прямую, на которой лежат точки, в точке P
, принадлежащей обоим отрезкам и удовлетворяющей равенству PA\cdot PB=PC\cdot PD
(см. задачу 2627). Эти условия определяют точку P
однозначно.