6743. Дан прямоугольный треугольник ABC
с гипотенузой AC
и углом A=50^{\circ}
. Точки K
и L
на катете BC
таковы, что \angle KAC=\angle LAB=10^{\circ}
. Найдите отношение \frac{CK}{LB}
.
Ответ. 2.
Указание. Постройте точку, симметричную точке L
относительно прямой AB
.
Решение. Пусть L'
— точка, симметричная L
относительно прямой AB
. Тогда
\angle BAL'=\angle BAL=10^{\circ},~\angle AL'L=90^{\circ}-10^{\circ}=80^{\circ},
\angle KAL'=\angle BAL'+\angle BAK=10^{\circ}+40^{\circ}=50^{\circ},
\angle L'KA=180^{\circ}-80^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}=\angle KAL'.
Значит, треугольник AKL'
равнобедренный, и L'K=L'A=LA
.
С другой стороны,
\angle CAL=50^{\circ}-10^{\circ}=40^{\circ}=\angle ACL,
значит, AL=CL
. Из этих равенств следует, что CK=LL'=2BL
. Следовательно, \frac{CK}{LB}=2
.