6746. Дан равнобедренный треугольник ABC
с основанием AC
и углом \alpha
при вершине. На отрезке AC
во внешнюю сторону построена дуга с градусной мерой \beta
. Две прямые, проходящие через вершину B
, делят как отрезок, так и дугу AC
на три равные части. Найдите отношение \frac{\alpha}{\beta}
.
Ответ. \frac{1}{3}
.
Решение. Пусть X
и Y
— точки, делящие отрезок AC
на три равные части (AX=XY=YC
), U
и V
— точки пересечения прямых соответственно BX
и BY
с дугой AC
, Z
— точка пересечения прямых BC
и UV
.
Тогда UV\parallel AC
как хорды, между которыми заключены равные дуги, поэтому VZ=UV=VC
. Следовательно,
\angle BCU=\angle UCZ=90^{\circ}
(см. задачу 1188).
С другой стороны, по теореме о вписанном угле
\angle ACU=\angle UCV=\frac{\beta}{6},~\angle BCA=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},
а так как
\angle BCA+\angle ACU=\angle BCU=90^{\circ},
то
90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{6}=90^{\circ}.
Отсюда находим, что \beta=3\alpha
.