6754. Через точку, лежащую внутри треугольника ABC
, проведены три прямые, параллельные сторонами треугольника. Эти прямые высекают на сторонах BC
, AC
и AB
отрезки, равные x
, y
и z
соответственно и отсекают от треугольника три подобных ему треугольника с коэффициентами k_{1}
, k_{2}
и k_{3}
. Докажите, что:
а) \frac{x}{BC}+\frac{y}{AC}+\frac{z}{AB}=1
;
б) k_{1}+k_{2}+k_{3}=2
.
Решение. Пусть M
— точка внутри треугольника ABC
; QL=x
, KH=y
и PG=z
— отрезки, высекаемые указанными в условии прямыми на сторонах BC=a
, AC=b
и AB=c
соответственно (см. рис.). Обозначим BL=MG=m
, CQ=MH=n
.
а) Из подобия треугольников KMN
и PBQ
получаем, что \frac{KH}{PQ}=\frac{MH}{BQ}
, или \frac{KH}{PM+MQ}=\frac{MH}{BQ}
, а так как APMK
и CQMH
— параллелограммы, то
PM=AK,~MQ=CH,~PM+MQ=AK+CH=b-y,
поэтому \frac{y}{b-y}=\frac{n}{a-n}
, откуда y=\frac{bn}{a}
. Аналогично, рассмотрев подобные треугольники GMP
и LCK
, найдём, что z=\frac{cm}{a}
. Значит,
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=\frac{x}{a}+\frac{\frac{bn}{a}}{b}+\frac{\frac{cm}{a}}{c}=\frac{x}{a}+\frac{n}{a}+\frac{m}{a}=\frac{x+n+m}{a}=\frac{a}{a}=1.
б) Треугольники HAG
, QPB
и CKL
подобны треугольнику CAB
с коэффициентами
k_{1}=\frac{GH}{BC},~k_{2}=\frac{PQ}{AC},~k_{3}=\frac{KL}{AB}
соответственно. Тогда
\frac{GH}{BC}=\frac{AG}{AB},~\frac{PQ}{AC}=\frac{BQ}{BC},~\frac{KL}{AB}=\frac{CK}{AC}.
Кроме того,
GH=GM+MH=BC+CQ=BC-LQ=a-x.
Аналогично PQ=b-y
и KL=c-z
. Следовательно,
k_{1}+k_{2}+k_{3}=\frac{GH}{BC}+\frac{PQ}{AC}+\frac{KL}{AB}=\frac{a-x}{a}+\frac{b-y}{b}+\frac{c-z}{c}=
=1-\frac{x}{a}+1-\frac{y}{b}+1-\frac{z}{c}=3-\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)=3-1=2.