6765. На сторонах треугольника ABC
вне его построены квадраты ABMN
, BCKL
и ACPQ
.
а) Докажите, что треугольники ANQ
, BML
и CKP
равновелики.
б) Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах квадратов, если известно, что треугольник ABC
прямоугольный, а сумма его катетов равна 6.
Ответ. 9.
Решение. а) Докажем, что каждый из указанных треугольников равновелик треугольнику ABC
. Обозначим \angle ACB=\gamma
. Тогда
\angle KCP=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-\gamma=180^{\circ}-\gamma,
значит,
S_{\triangle CKP}=\frac{1}{2}CK\cdot CP\sin\angle KCP=
=\frac{1}{2}BC\cdot AC\sin(180^{\circ}-\gamma)=\frac{1}{2}BC\cdot AC\sin\gamma=S_{\triangle ABC}.
Аналогично для треугольников ANQ
и BML
.
б)
Первый способ. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
. Пусть \angle ACB=90^{\circ}
, а точки O_{c}
, O_{a}
и O_{b}
— центры квадратов ABMN
, BCKL
и ACPQ
соответственно.
Лучи CO_{a}
и CO_{b}
— биссектрисы вертикальных углов BCK
и ACP
, поэтому точка C
лежит на отрезке O_{a}O_{b}
. Значит,
O_{a}O_{b}=CO_{a}+CO_{b}=\frac{a}{\sqrt{2}}+\frac{b}{\sqrt{2}}=\frac{a+b}{\sqrt{2}}.
Кроме того, CO_{c}
— биссектриса прямого угла ACB
(см. задачу 52), поэтому O_{c}C
— высота треугольника O_{a}O_{b}O_{c}
.
Поскольку O_{c}C=\frac{a+b}{\sqrt{2}}
(см. задачу 1366),
S_{\triangle O_{a}O_{b}O_{c}}=\frac{1}{2}O_{a}O_{b}\cdot O_{c}C=\frac{1}{2}\cdot\frac{a+b}{\sqrt{2}}\cdot\frac{a+b}{\sqrt{2}}=\frac{(a+b)^{2}}{4}=\frac{6^{2}}{4}=9.
Второй способ. Из точек C
и O_{c}
отрезок AB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Вписанные в эту окружность углы ACO_{c}
и ABO_{c}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle ACO_{c}=\angle ABO_{c}=45^{\circ}.
Следовательно, CO_{c}
— биссектриса прямого угла ACB
, и CO_{c}\perp O_{a}O_{b}
, т. е. O_{c}C
— высота треугольника O_{a}O_{b}O_{c}
.
Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle CAO_{c}=\angle BAC+\angle BAO_{c}=\alpha+45^{\circ}.
По теореме синусов
O_{c}C=AB\sin\angle CAO_{c}=c\sin(\alpha+45^{\circ})=c\left(\frac{\sin\alpha}{\sqrt{2}}+\frac{\cos\alpha}{\sqrt{2}}\right)=
=\frac{c}{\sqrt{2}}(\sin\alpha+\cos\alpha)=\frac{c}{\sqrt{2}}\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)=\frac{a+b}{\sqrt{2}}.
Следовательно,
S_{\triangle O_{a}O_{b}O_{c}}=\frac{1}{2}O_{a}O_{b}\cdot O_{c}C=\frac{1}{2}\cdot\frac{a+b}{\sqrt{2}}\cdot\frac{a+b}{\sqrt{2}}=\frac{(a+b)^{2}}{4}=\frac{6^{2}}{4}=9.