6768. Точки B_{1}
и C_{1}
— середины сторон соответственно AB
и AC
треугольника ABC
. Серединный перпендикуляр к отрезку B_{1}C_{1}
пересекает сторону BC
в точке K
. Через вершину A
проведена прямая, параллельная стороне BC
и пересекающая продолжения отрезков KB_{1}
и KC_{1}
в точках M
и N
соответственно.
а) Докажите, что треугольник KMN
равновелик треугольнику ABC
.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника KMN
, если AB=18\sqrt{2}
, BC=48
и \angle ABC=45^{\circ}
.
Ответ. 25.
Решение. а) Треугольники AB_{1}M
и CB_{1}K
равны по стороне (AB_{1}=CB_{1}
) и двум прилежащим к ней углам, поэтому AM=CK
. Аналогично AN=BK
. Тогда
MN=AM+AN=CK+BK=BC.
У треугольников KMN
и ABC
равны основания MN
и BC
, а так как BC\parallel MN
, то равны и опущенные на них высоты. Следовательно, эти треугольники имеют равные площади. Что и требовалось доказать.
б) Пусть P
— середина B_{1}C_{1}
, а AH
и KL
— высоты треугольников ABC
и KMN
. Из прямоугольного треугольника ABH
находим, что
AH=AB\sin45^{\circ}=18\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=18.
Треугольник B_{1}KC_{1}
равнобедренный, значит, подобный ему треугольник MKN
также равнобедренный. Его высота KL
является медианой, поэтому
LM=\frac{1}{2}MN=\frac{1}{2}BC=24.
Из прямоугольного треугольника KLM
находим, что
KM=\sqrt{KL^{2}+LM^{2}}=\sqrt{AH^{2}+LM^{2}}=\sqrt{18^{2}+24^{2}}=6\sqrt{9+16}=30.
Обозначим \angle KMN=\alpha
. Тогда
\sin\alpha=\frac{KL}{KM}=\frac{AH}{KM}=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}.
Пусть радиус окружности, описанной около треугольника KMN
, равен R
. По теореме синусов
R=\frac{KN}{2\sin\alpha}=\frac{30}{2\cdot\frac{3}{5}}=25.