6771. В треугольнике ABC
биссектриса, проведённая из вершины A
, равна полусумме высоты и медианы, проведённых из той же вершины. Докажите, что если угол A
тупой, то AB=AC
.
Решение. Предположим, что утверждение задачи неверно. Пусть H
, L
и M
— основания высоты, биссектрисы и медианы, проведённых из вершины A
. Тогда эти три точки различны.
Продолжим биссектрису AL
до пересечения с описанной окружностью треугольника ABC
в точке P
. Тогда P
— середина дуги BC
описанной окружности треугольника ABC
, не содержащей точки A
(см. задачу 430).
Поскольку угол A
тупой, центр O
окружности и точка P
лежат по одну сторону от прямой BC
, поэтому PM\gt AH
. При этом PM\perp BC
, поэтому прямоугольные треугольники AHL
и PML
подобны, значит, LM\gt LH
.
Пусть AN
— медиана треугольника AHM
. Тогда точка N
лежит между L
и M
, а так как угол ALN
тупой, то AN\gt AL
. В то же время, так как медиана AN
треугольника AHM
меньше полусуммы сторон AH
и AM
(см. задачу 3504), то
AN\lt\frac{1}{2}(AH+AM)=AL
— противоречие.