6788. Сторона MN
прямоугольника KLMN
касается некоторой окружности в точке A
. Продолжение стороны KN
последовательно пересекает окружность в точках B
и C
, прямая LM
касается окружности, а точка C
лежит на прямой AL
.
а) Докажите, что треугольники ABN
и LAM
подобны.
б) Известно, что AM=13
и KL=25
. Найдите сторону KN
.
Ответ. 19,5.
Решение. а) Поскольку BAN
— угол между касательной AN
и хордой AB
, а ACB
— угол, вписанный в окружность, то
\angle BAN=\angle ACB=\angle ACN
(каждый из этих угол равен половине меньшей дуги AB
), а так как \angle ALM=\angle ACN
(по свойству параллельных прямых), то \angle ALM=\angle BAN
. Следовательно, треугольники ABN
и LAM
подобны по двум углам.
б) Пусть окружность с центром O
касается прямой LM
в точке E
, а H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на BC
. Тогда H
— середина хорды BC
. Из прямоугольного треугольника OHC
находим, что
HC=\sqrt{OC^{2}-OH^{2}}=\sqrt{OC^{2}-AN^{2}}=\sqrt{13^{2}-(25-13)^{2}}=\sqrt{169-144}=5.
Поскольку OE\perp BC
, точки O
, E
и H
лежат на одной прямой, OANH
— прямоугольник, а так как NH=AO=13
, то
NC=NH+HC=AO+HC=13+5=18.
Треугольник AML
подобен треугольнику ANC
с коэффициентом \frac{AM}{AN}=\frac{13}{12}
, следовательно,
KN=LM=\frac{13}{12}NC=\frac{13}{12}\cdot18=\frac{39}{2}=19{,}5.