6791. Внутри треугольника ABC
расположена точка O
. Лучи AO
, BO
и CO
пересекают стороны BC
, AC
и AB
в точках A'
, B'
и C'
соответственно. Для какой точки O
произведение AB'\cdot BC'\cdot CA'
максимально?
Ответ. Для точки пересечения медиан треугольника ABC
.
Решение. Пусть AM
, BN
и CP
— медианы треугольника ABC
. Тогда
AB'\cdot B'C\leqslant\left(\frac{AB'+B'C}{2}\right)^{2}=\left(\frac{AC}{2}\right)^{2}=AN^{2}.
Аналогично
CA'\cdot A'B\leqslant CM^{2},~BC'\cdot C'A\leqslant BP^{2}.
значит,
AB'\cdot B'C\cdot CA'\cdot A'B\cdot BC'\cdot C'A\leqslant(AN\cdot CM\cdot BP)^{2},
а так как по теореме Чевы \frac{AB'}{B'C}\cdot\frac{CA'}{A'B}\cdot\frac{BC'}{C'A}=1
, то
AB'\cdot CA'\cdot BC'=B'C\cdot A'B\cdot C'A.
Тогда
(AB'\cdot BC'\cdot CA')^{2}\leqslant(AN\cdot CM\cdot BP)^{2}.
Следовательно,
AB'\cdot BC'\cdot CA'\leqslant AN\cdot CM\cdot BP,
причём равенство достигается, когда AB'=B'C
, CA'=A'B
и BC'=C'A
, т. е. когда AA'
, BB'
и CC'
— медианы треугольника ABC
. При этом
AB'\cdot BC'\cdot CA'=AN\cdot CM\cdot BP=\frac{1}{8}AC\cdot BC\cdot AB.