6797. Докажите, что центр масс материальной системы точек останется прежним, если часть точек заменить одной точкой, которая расположена в их центре масс и которой приписана масса, равная сумме их масс.
Решение. Пусть O
— центр масс системы точек A_{1}
, A_{2}
, …, A_{n}
, B_{1}
, B_{2}
, …, B_{k}
с массами a_{1}
, a_{2}
, …, a_{n}
, b_{1}
, b_{2}
, …, b_{k}
, а Y
— центр масс системы B_{1}
, B_{2}
, …, B_{k}
. Тогда
a_{1}\overrightarrow{OA_{1}}+a_{2}\overrightarrow{OA_{2}}+\dots+a_{n}\overrightarrow{OA_{n}}+b_{1}\overrightarrow{OB_{1}}+b_{2}\overrightarrow{OB_{2}}+\dots+b_{k}\overrightarrow{OB_{k}}=\overrightarrow{0},
и
b_{1}\overrightarrow{YB_{1}}+b_{2}\overrightarrow{YB_{2}}+\dots+b_{k}\overrightarrow{YB_{k}}=\overrightarrow{0}.
Вычитая второе равенство из первого, получаем, что
a_{1}\overrightarrow{OA_{1}}+a_{2}\overrightarrow{OA_{2}}+\dots+a_{n}\overrightarrow{OA_{n}}+b_{1}\overrightarrow{OB_{1}}+b_{2}\overrightarrow{OB_{2}}+\dots+b_{k}\overrightarrow{OB_{k}}-
{}-(b_{1}\overrightarrow{YB_{1}}+b_{2}\overrightarrow{YB_{2}}+\dots+b_{k}\overrightarrow{YB_{k}})=
=a_{1}\overrightarrow{OA_{1}}+a_{2}\overrightarrow{OA_{2}}+\dots+a_{n}\overrightarrow{OA_{n}}+
{}+b_{1}(\overrightarrow{OB_{1}}-\overrightarrow{YB_{1}})+b_{2}(\overrightarrow{OB_{2}}-\overrightarrow{YB_{2}})+\dots+b_{k}(\overrightarrow{OB_{k}}-\overrightarrow{YB_{k}})=
=a_{1}\overrightarrow{OA_{1}}+a_{2}\overrightarrow{OA_{2}}+\dots+a_{n}\overrightarrow{OA_{n}}+
{}+b_{1}(\overrightarrow{OB_{1}}+\overrightarrow{B_{1}Y})+b_{2}(\overrightarrow{OB_{2}}+\overrightarrow{B_{2}Y})+\dots+b_{k}(\overrightarrow{OB_{k}}+\overrightarrow{B_{k}Y})=
=a_{1}\overrightarrow{OA_{1}}+a_{2}\overrightarrow{OA_{2}}+\dots+a_{n}\overrightarrow{OA_{n}}+(b_{1}+b_{2}+\dots+b_{k})\overrightarrow{OY}=\overrightarrow{0}.
Следовательно, O
— центр масс системы точек A_{1}
, A_{2}
, …, A_{n}
, Y
с массами a_{1}
, a_{2}
, …, a_{n}
, b_{1}+b_{2}+\dots+b_{k}
.