6800. Три мухи равной массы ползают по сторонам треугольника ABC
так, что их центр масс остаётся на месте. Докажите, что он совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC
, если известно, что одна муха проползла по всей границе треугольника.
Решение. Пусть муха, которая проползла по всей границе треугольника (а значит, побывала во всех его вершинах), находится в точке A
, остальные мухи — в точках B_{1}
и C_{1}
. Заметим, что точки B_{1}
и C_{1}
не могут одновременно лежать ни на стороне AC
, ни на стороне AB
, поэтому центр масс точек B_{1}
и C_{1}
, т. е. середина M
отрезка B_{1}C_{1}
, лежит внутри треугольника ABC
.
Пусть O
— центр масс точек A
, B_{1}
и C_{1}
. Тогда O
— точка пересечения медиан треугольника AB_{1}C_{1}
, значит, O
лежит на отрезке AM
и делит его в отношении 2:1
, считая от вершины A
. Следовательно, точка O
лежит внутри (или на границе) треугольника, полученного из треугольника ABC
гомотетией с центром A
и коэффициентом \frac{2}{3}
. Аналогично, для случаев, когда эта муха находится в вершине B
или в вершине C
. Таким образом, точка O
должна находиться внутри (или на границе) каждого из трёх таких треугольников. Единственная общая точка трёх этих треугольников — точка пересечения медиан треугольника ABC
.