6813. Вершину A
параллелограмма ABCD
соединили отрезками с серединами сторон BC
и CD
. Один из этих отрезков оказался вдвое длиннее другого. Определите, каким является угол BAD
: острым, прямым или тупым.
Ответ. Ответ: тупым.
Решение. Пусть N
— середина BC
, M
— середина CD
, AN=2AM
.
Первый способ. Через точку M
проведём прямую, параллельную стороне BC
. Пусть она пересечёт сторону AB
в точке K
, а отрезок AN
— в точке P
. Тогда по теореме Фалеса
AK=KB,~AP=PN=\frac{1}{2}AN=AM.
Углы при основании равнобедренного треугольника острые, поэтому
\angle AMP=\angle APM\lt90^{\circ}.
Следовательно,
\angle PAD=180^{\circ}-\angle APM\gt90^{\circ},
а так как \angle BAD\gt\angle PAD
, то \angle BAD\gt90^{\circ}
.
Второй способ. Продлим отрезок AM
до пересечения с прямой BC
в точке L
. Треугольники DAM
и CLM
равны по стороне и двум прилежащим углам. Следовательно, AM=ML
, тогда AL=2AM=AN
.
Углы при основании равнобедренного треугольника острые, поэтому
\angle ANL=\angle ALN\lt90^{\circ},
а так как ANL
— внешний треугольника ABN
, то
\angle ABN\lt\angle ANL\lt90^{\circ}.
Следовательно,
\angle BAD=180^{\circ}-\angle ABN\gt90^{\circ}.