6822. Найдите площадь трапеции ABCD
с боковыми сторонами AB=5
, CD=7
и диагоналями AC=13
, BD=17
.
Ответ. 70.
Решение. Первый способ. Пусть основание AD=2x
. По формуле Герона
S_{\triangle ABD}^{2}=(11+x)(11-x)(x+6)(x-6)=(121-x^{2})(x^{2}-36),
S_{\triangle ACD}^{2}=(10+x)(10-x)(x+3)(x-3)=(100-x^{2})(x^{2}-9),
а так как у треугольников ABD
и ACD
одно и то же основание AD
и равные высоты, то S_{\triangle ABD}^{2}=S_{\triangle ACD}^{2}
. Из уравнения (121-x^{2})(x^{2}-36)=(100-x^{2})(x^{2}-9)
находим, что x=6\sqrt{2}
. Тогда
AD=2x=12\sqrt{2},~S_{\triangle ABD}=\sqrt{(121-x^{2})(x^{2}-36)}=\sqrt{(121-72)(72-36)}=42.
Аналогично, применяя формулу Герона к равновеликим треугольникам ABC
и DBC
, находим, что BC=8\sqrt{2}
.
Пусть BP
— высота треугольника ABD
. Тогда
BP=\frac{2S_{\triangle ABD}}{AD}=\frac{2\cdot42}{12\sqrt{2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot BP=\frac{1}{2}(12\sqrt{2}+8\sqrt{2})\cdot\frac{7}{\sqrt{2}}=70.
Второй способ. Пусть диагонали трапеции пересекаются в точке O
. Обозначим
\frac{BC}{AD}=\frac{BO}{OD}=\frac{CO}{OA}=k,~\angle AOB=\angle COD=\alpha.
Тогда
OA=\frac{1}{k+1}AC=\frac{13}{k+1},~OB=\frac{k}{k+1}BD=\frac{17k}{k+1},~
OC=\frac{k}{k+1}AC=\frac{13k}{k+1},~OD=\frac{1}{k+1}BD=\frac{17}{k+1}.
По теореме косинусов
AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}-2OA\cdot OB\cos\alpha,
или
25=\left(\frac{13}{k+1}\right)^{2}+\left(\frac{17k}{k+1}\right)^{2}-2\cdot\frac{13}{k+1}\cdot\frac{17k}{k+1}\cdot\cos\alpha.
Из треугольника COD
аналогично получаем
49=\left(\frac{17}{k+1}\right)^{2}+\left(\frac{13k}{k+1}\right)^{2}-2\cdot\frac{17}{k+1}\cdot\frac{13k}{k+1}\cdot\cos\alpha.
Вычитая из второго равенства первое, получим, что
24=\frac{17^{2}}{(k+1)^{2}}-\frac{17^{2}k^{2}}{(k+1)^{2}}+\frac{13^{2}k^{2}}{(k+1)^{2}}-\frac{13^{2}}{(k+1)^{2}},
или 3k^{2}+k-2=0
, откуда k=\frac{2}{3}
. Тогда
OA=\frac{13}{k+1}=\frac{3}{5}\cdot13=\frac{39}{5},~OB=\frac{17k}{k+1}=\frac{2}{5}\cdot17=\frac{34}{5},~
значит,
\cos\alpha=\frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}}{2OA\cdot OB}=\frac{39^{2}+34^{2}-25^{2}}{2\cdot6\cdot13\cdot17}=\frac{171}{13\cdot17},
\sin\alpha=\sqrt{1-\left(\frac{171}{13\cdot17}\right)^{2}}=\frac{140}{13\cdot17}.
Следовательно (см. задачу 3018),
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot13\cdot17\cdot\frac{140}{13\cdot17}=70.