6840. Дан ромб ABCD
с острым углом при вершине A
. В точке B
проведена касательная к окружности, описанной около треугольника ABD
. Эта касательная пересекает сторону CD
в точке K
.
а) Докажите, что треугольник BDK
равнобедренный.
б) Найдите отношение площади треугольника BDK
к площади ромба, если известно, что \cos\angle BAD=\frac{3}{4}
.
Ответ. \frac{1}{4}
.
Решение. а) Обозначим \angle BAD=\alpha
. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle DBK=\angle BAD=\alpha,
а так как по свойству ромба DB
— биссектриса угла ADC
, то \angle BDK=\angle ADB
. Таким образом, два угла треугольника BDK
соответственно равны двум углам равнобедренного треугольника ABD
. Значит, \angle BKD=\angle ABD=\angle BDK
. Следовательно, треугольник BDK
также равнобедренный.
б) Обозначим AB=AD=a
. Треугольник BDK
подобен треугольнику ABD
по двум углам, причём коэффициент подобия равен
\frac{BD}{AB}=\frac{2a\sin\frac{\alpha}{2}}{a}=2\sin\frac{\alpha}{2}.
Значит,
\frac{S_{\triangle BDK}}{S_{\triangle ABD}}=4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=2(1-\cos\alpha)=2\left(1-\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{2}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle BDK}}{S_{\triangle ABCD}}=\frac{S_{\triangle BDK}}{2S_{\triangle ABD}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.