6843. Диагональ AC
разбивает трапецию ABCD
с основаниями AD\gt BC
на два подобных треугольника.
а) Докажите, что \angle ABC=\angle ACD
.
б) Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если известно, что BC=32
, AD=50
и \cos\angle CAD=\frac{4}{5}
.
Ответ. 3\sqrt{73}
.
Решение. а) Прямые AD
и BC
параллельны, поэтому \angle ACB=\angle CAD
. Предположим, что \angle BAC=\angle ACD
. Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми AB
, CD
и секущей AC
, равны, поэтому AB\parallel CD
, что невозможно, так как тогда ABCD
— параллелограмм. Следовательно, \angle ABC=\angle ACD
. Что и требовалось доказать.
б) Треугольник ABC
подобен треугольнику DCA
, поэтому \frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}
. Значит,
AC^{2}=BC\cdot AD=32\cdot50=1600,~AC=40.
По теореме косинусов
CD^{2}=AC^{2}+AD^{2}-2AC\cdot AD\cos\angle CAD=
=1600+2500-2\cdot40\cdot50\cdot\frac{4}{5}=1600+2500-3200=900,~CD=30.
Следовательно, \angle ABC=\angle ACD=90^{\circ}
(так как AC^{2}+CD^{2}=1600+900=2500=AD^{2}
), т. е. трапеция прямоугольная.
Коэффициент подобия треугольников ABC
и DCA
равен \frac{AC}{AD}=\frac{4}{5}
, поэтому AB=\frac{4}{5}CD=\frac{4}{5}\cdot30=24
.
Пусть M
и N
— середины оснований BC
и AD
соответственно, MH
— перпендикуляр к AD
. Тогда
MH=AB=24,~NH=AN-AH=AN-BM=25-16=9.
Следовательно,
MN=\sqrt{MH^{2}+NH^{2}}=\sqrt{24^{2}+9^{2}}=3\sqrt{73}.