6847. а) Докажите, что диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон.
б) Что больше: 0{,}3
или косинус угла между диагональю CE
правильного пятиугольника ABCDE
и его стороной AE
? (Ответ должен быть обоснован.)
Ответ. \frac{\sqrt{5}-1}{4}\gt0{,}3
.
Решение. а) Сумма внутренних углов выпуклого n
-угольника равна 180^{\circ}(n-2)
(см. задачу 1198). В случае правильного пятиугольника эта сумма равна 180^{\circ}\cdot3=540^{\circ}
. Значит, внутренний угол правильного пятиугольника равен 540^{\circ}:5=108^{\circ}
.
Рассмотрим диагональ AC
правильного пятиугольника ABCDE
. Из равнобедренного треугольника ABC
находим, что
\angle BAC=\angle BCA=\frac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2}=36^{\circ}.
Тогда
\angle CAE=\angle BAE-\angle BAC=108^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ},
поэтому
\angle CAE+\angle AED=72^{\circ}+108^{\circ}=180^{\circ}.
Следовательно, AC\parallel DE
. Аналогично для остальных диагоналей.
б) Угол CAE
при основании равнобедренного треугольника CAD
равен 72^{\circ}
. Обозначим AE=a
, AC=CE=b
. Тогда \cos\angle CAE=\cos72^{\circ}=\frac{a}{2b}
.
Пусть биссектриса AD
угла CAE
пересекает диагональ CE
в точке M
. Тогда
\angle ACM=36^{\circ}=\angle CAM,~\angle AME=\angle CAM+\angle ACM=36^{\circ}+36^{\circ}=72^{\circ}=\angle AEC,
значит, треугольники AMC
и EAM
равнобедренные, CM=AM=AE=a
. По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509) \frac{EM}{MC}=\frac{AE}{AC}
, или \frac{b-a}{a}=\frac{a}{b}
. Отсюда находим, что \frac{a}{b}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}
. Следовательно,
\cos\angle CAE=\cos72^{\circ}=\frac{a}{2b}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.
Теперь докажем, что \frac{\sqrt{5}-1}{4}\gt0{,}3
. Действительно,
\frac{\sqrt{5}-1}{4}\gt\frac{3}{10}~\Leftrightarrow~5\sqrt{5}-5\gt6~\Leftrightarrow~5\sqrt{5}\gt11~\Leftrightarrow~125\gt121.
Что и требовалось доказать.