6854. Две окружности касаются внутренним образом в точке A
, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC
большей окружности касается меньшей в точке P
. Хорды AB
и AC
пересекают меньшую окружность в точках K
и M
.
а) Докажите, что KM\parallel BC
.
б) Пусть L
— точка пересечения отрезков KM
и AP
. Найдите AL
, если радиус большей окружности равен 10, а BC=16
.
Ответ. \sqrt{10}
.
Решение. а) Пусть O
— центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OA
— диаметр меньшей окружности.
Пусть хорды AB
и AC
пересекают меньшую окружность в точках K
и M
соответственно. Точка K
лежит на окружности с диаметром OA
, значит, \angle AKO=90^{\circ}
, а так как перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам, то K
— середина AB
. Аналогично, M
— середина AC
, поэтому KM
— средняя линия треугольника ABC
. Следовательно, MK\parallel BC
.
б) Опустим перпендикуляр OH
на хорду BC
. Тогда H
— середина BC
. Из прямоугольного треугольника OHB
находим, что
OH=\sqrt{OB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{100-64}=6.
Пусть Q
— центр меньшей окружности. Тогда QP\parallel OH
. Опустим перпендикуляр QF
из центра меньшей окружности на OH
. Тогда
PH=QF,~OF=OH-FH=OH-QP=6-5=1,
PH^{2}=QF^{2}=QO^{2}-OF^{2}=25-1=24,
OP^{2}=OH^{2}+PH^{2}=OH^{2}+QF^{2}=36+24=60,
а так как \angle APO=90^{\circ}
, то из прямоугольного треугольника APO
находим, что
AP=\sqrt{OA^{2}-OP^{2}}=\sqrt{100-60}=2\sqrt{10}.
Отрезок KM
— средняя линия треугольника ABC
, поэтому L
— середина AP
. Следовательно,
AL=\frac{1}{2}AP=\sqrt{10}.