6858. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом C
. На катете AC
взята точка M
. Окружность с центром O
и диаметром CM
касается гипотенузы в точке N
.
а) Докажите, что прямые MN
и BO
параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN
, если CN=4
и AM:MC=1:3
.
Ответ. 7.
Решение. а) Поскольку прямые AC
и BC
перпендикулярны, прямая BC
— касательная к окружности (см. задачу 1735). По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, прямая BO
перпендикулярна прямой CN
(см. задачу 1180). Точка N
лежит на окружности с диаметром CM
, поэтому \angle CNM=90^{\circ}
. Прямые BO
и MN
перпендикулярны одной и той же прямой CN
, следовательно, они параллельны.
б) Пусть AM=2x
, MC=6x
. Тогда OC=3x
, OA=5x
, AC=8x
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому BO
— биссектриса треугольника ABC
. По свойству биссектрисы
\frac{BC}{AB}=\frac{OC}{OA}=\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}.
Пусть AB=5a
, BC=3a
. Тогда по теореме Пифагора
AC=\sqrt{25a^{2}-9a^{2}}=4a.
поэтому a=2x
. Следовательно, BC=6x
.
Пусть отрезки BO
и CN
пересекаются в точке P
. Тогда P
— середина CN
, а OP
— средняя линия треугольника CNM
. Поскольку \angle CMN=\angle COB
, прямоугольные треугольники CNM
и BCO
подобны, поэтому
MN=\frac{CN\cdot CO}{BC}=\frac{4\cdot3x}{6x}=2,~OP=\frac{1}{2}MN=1.
Из прямоугольного треугольника BNO
находим, что
BP=\frac{NP^{2}}{OP}=\frac{4}{1}=4,~BO=BP+OP=4+1=5.
По формуле площади трапеции
S_{BOMN}=\frac{BO+MN}{2}\cdot NP=\frac{5+2}{2}\cdot2=7.