6860. Пусть \alpha
, \beta
и \gamma
— величины углов треугольника. Докажите, что:
\mbox{а)}~\ctg\alpha\ctg\beta+\ctg\beta\ctg\gamma+\ctg\alpha\ctg\gamma=1;
\mbox{б)}~\ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma-\ctg\alpha\ctg\beta\ctg\gamma=\frac{1}{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}.
Решение. Первый способ. а)
\ctg\alpha\ctg\beta+\ctg\beta\ctg\gamma+\ctg\alpha\ctg\gamma-1=
\frac{\cos\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}+\frac{\cos\beta\cos\gamma}{\sin\beta\sin\gamma}+\frac{\cos\alpha\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\gamma}-1=
=\frac{\cos\alpha\cos\beta\sin\gamma+\cos\beta\cos\gamma\sin\alpha+\cos\alpha\cos\gamma\sin\beta-\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}=
=\frac{\cos\gamma(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)+\sin\gamma(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)}{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}=
=\frac{\cos\gamma\sin(\alpha+\beta)+\sin\gamma\cos(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}=
=\frac{\cos\gamma\sin(180^{\circ}-\gamma)+\sin\gamma\cos(180^{\circ}-\gamma)}{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}=
=\frac{\cos\gamma\sin\gamma-\sin\gamma\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}=0.
Что и требовалось доказать.
б)
\ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma-\ctg\alpha\ctg\beta\ctg\gamma=
=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}+\frac{\cos\beta}{\sin\beta}+\frac{\cos\gamma}{\sin\gamma}-\frac{\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}=
=\frac{\cos\alpha\sin\beta\sin\gamma+\cos\beta\sin\alpha\sin\gamma+\cos\gamma\sin\alpha\sin\beta-\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma}{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}=
=\frac{\cos\alpha(\sin\beta\sin\gamma-\cos\beta\cos\gamma)+\sin\alpha(\cos\beta\sin\gamma+\cos\gamma\sin\beta)}{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}=
=\frac{-\cos\alpha\cos(\beta+\gamma)+\sin\alpha\sin(\gamma+\beta)}{{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}}=
=\frac{-\cos\alpha\cos(180^{\circ}-\alpha)+\sin\alpha\sin(180^{\circ}-\alpha)}{{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}}=
=\frac{\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha}{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}=\frac{1}{\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma},
что и требовалось доказать.
Второй способ. а) Рассмотрим остроугольный треугольник ABC
с углами \alpha
, \beta
и \gamma
при вершинах A
, B
и C
соответственно. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины сторон BC=a
, AC=b
и AB=c
, а O
— центр описанной окружности. Тогда
\angle BOC=2\angle BAC=2\alpha,~\angle BOA_{1}=\frac{1}{2}\angle BOC=\alpha,
OA_{1}=BA_{1}\ctg\angle BOA_{1}=\frac{a\ctg\alpha}{2}.
Аналогично
OB_{1}=\frac{b\ctg\beta}{2},~OC_{1}=\frac{c\ctg\gamma}{2}.
Тогда
\frac{S_{\triangle A_{1}OB_{1}}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{\frac{1}{2}OA_{1}\cdot OB_{1}\sin(180^{\circ}-\gamma)}{\frac{1}{2}AC\cdot BC\sin\gamma}=\frac{\ctg\alpha\ctg\beta}{4}.
Аналогично
\frac{S_{\triangle B_{1}OC_{1}}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{\ctg\beta\ctg\gamma}{4},~\frac{S_{\triangle A_{1}OC_{1}}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{\ctg\alpha\ctg\gamma}{4},
а так как S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}
, то
\frac{1}{4}=\frac{S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{S_{\triangle A_{1}OB_{1}}+S_{\triangle A_{1}OC_{1}}+S_{\triangle B_{1}OC_{1}}}{S_{\triangle ABC}}=
=\frac{\ctg\alpha\ctg\beta+\ctg\beta\ctg\gamma+\ctg\alpha\ctg\gamma}{4}.
Следовательно,
\ctg\alpha\ctg\beta+\ctg\beta\ctg\gamma+\ctg\alpha\ctg\gamma=1.
Если, например, \alpha\gt90^{\circ}
, то
\angle BOA_{1}=\frac{1}{2}(360^{\circ}-2\alpha)=180^{\circ}-\alpha,
OA_{1}=\frac{a\ctg(180^{\circ}-\alpha)}{2}=-\frac{a\ctg\alpha}{2},~OB_{1}=\frac{b\ctg\beta}{2},~OC_{1}=\frac{c\ctg\gamma}{2},
S_{\triangle B_{1}OC_{1}}=\frac{1}{4}\ctg\beta\ctg\gamma\cdot S_{\triangle ABC},~S_{\triangle A_{1}OB_{1}}=-\frac{1}{4}\ctg\alpha\ctg\beta\cdot S_{\triangle ABC},~
S_{\triangle A_{1}OC_{1}}=-\frac{1}{4}\ctg\alpha\ctg\gamma\cdot S_{\triangle ABC},
\frac{1}{4}=\frac{S_{\triangle A_{1}B_{1}C_{1}}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{S_{\triangle B_{1}OC_{1}}-S_{\triangle A_{1}OB_{1}}-S_{\triangle A_{1}OC_{1}}}{S_{\triangle ABC}}=
=\frac{\ctg\alpha\ctg\beta+\ctg\beta\ctg\gamma+\ctg\alpha\ctg\gamma}{4}.
Следовательно,
\ctg\alpha\ctg\beta+\ctg\beta\ctg\gamma+\ctg\alpha\ctg\gamma=1.