6876. Центр окружности лежит на стороне BC
треугольника ABC
. Окружность касается сторон AB
и AC
в точках D
и E
соответственно и пересекает сторону BC
в точках F
и G
(точка F
лежит между точками B
и G
). Известно, что BF=1
и BD:DA=AE:EC=1:2
. Найдите длину отрезка CG
.
Ответ. CG=6+2\sqrt{5}
.
Решение. Положим BD=x
. Тогда
AD=2x,~AE=AD=2x,~CE=2AE=4x,~AB=3x,~AC=6x.
Пусть O
— центр окружности, r
— её радиус. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого этого, поэтому AO
— биссектриса треугольника ABC
. Значит,
\frac{BO}{OC}=\frac{AB}{AC}=\frac{3x}{6x}=\frac{1}{2},~\mbox{или}~\frac{1+r}{r+CG}=\frac{1}{2},
откуда получаем, что CG=r+2
, а OC=2r+2
.
По теореме о касательной и секущей BD^{2}=BF\cdot BG
, или x^{2}=1\cdot(1+2r)=1+2r
. Аналогично CE^{2}=CG\cdot CF
, или 16x^{2}=(r+2)(3r+2)
. Из уравнения 16(1+2r)=(r+2)(3r+2)
находим, что r=4+2\sqrt{5}
. Следовательно, CG=r+2=6+2\sqrt{5}
.