6880. Пусть AL
— биссектриса треугольника ABC
. Из точки L
опущен перпендикуляр LK
на прямую AC
и продолжен на отрезок KM=BC
. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABC
и AKM
, касаются стороны AC
в одной и той же точке.
Решение. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle BAC=\alpha
, AL=l
. Тогда l=\frac{2bc\cos\frac{\alpha}{2}}{b+c}
(см. задачу 4021), откуда bc=\frac{l(b+c)}{2\cos\frac{\alpha}{2}}
.
По теореме косинусов
a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos\alpha=(b+c)^{2}-2bc-2bc\cos\alpha=
=(b+c)^{2}-2bc(1+\cos\alpha)=(b+c)^{2}-4bc\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=
=(b+c)^{2}-4\cdot\frac{l(b+c)}{2\cos\frac{\alpha}{2}}\cdot\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=(b+c)^{2}-2l(b+c)\cos\frac{\alpha}{2}.
Из квадратного уравнения
(b+c)^{2}-2l(b+c)\cos\frac{\alpha}{2}-a^{2}=0
находим, что b+c=l\cos\frac{\alpha}{2}+\sqrt{l^{2}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}+a^{2}}
, или
b+c=AK+\sqrt{AK^{2}+KM^{2}}=AK+AM.
Пусть окружности, вписанные в треугольники ABC
и AKM
, касаются стороны AC
в точках P
и Q
соответственно. Тогда
AQ=\frac{AK+AM-KM}{2}=\frac{b+c-a}{2}=AP
(см. задачу 219). Следовательно, точки P
и Q
совпадают.
Примечание. См. статью А.Коробова «Семь решений задачи Штейнера», Квант, 1996, N4, с.38-39