6892. В треугольнике ABC
угол C
равен 75^{\circ}
, а угол B
равен 60^{\circ}
. Вершина M
равнобедренного прямоугольного треугольника BCM
с гипотенузой BC
расположена внутри треугольника ABC
. Найдите угол MAC
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Из условия задачи следует, что \angle BAC=45^{\circ}
. Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
. Тогда BOC
— центральный угол этой окружности, а так как треугольник остроугольный, то \angle BOC=2\angle BAC=90^{\circ}
, поэтому BOC
— равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой BC
. Значит, точка M
совпадает с O
. Из равнобедренного треугольника AMC
находим, что
\angle MAC=\angle MCA=\angle ACB-\angle BCM=75^{\circ}-45^{\circ}=30^{\circ}.