6896. Вписанная в треугольник ABC
окружность \omega
касается сторон BC
, CA
, AB
в точках A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
соответственно. На продолжении отрезка AA_{1}
за точку A
взята такая точка D
, что AD=AC_{1}
. Прямые DB_{1}
и DC_{1}
пересекают второй раз окружность \omega
в точках B_{2}
и C_{2}
. Докажите, что B_{2}C_{2}
— диаметр окружности \omega
.
Решение. Поскольку AD=AB_{1}=AC_{1}
, точка A
— центр окружности \omega_{1}
, описанной около треугольника B_{1}DC_{1}
. Обозначим
\angle ADC_{1}=\angle AC_{1}D=\alpha,~\angle ADB_{1}=\angle AB_{1}D=\beta.
Центральный угол B_{1}AC_{1}
окружности \omega_{1}
вдвое больше вписанного угла B_{1}DC_{1}
, значит,
\angle B_{1}AC_{1}=2\angle B_{1}DC_{1}=2(\alpha+\beta),
а так как треугольник B_{1}AC_{1}
равнобедренный, то
\angle AC_{1}B_{1}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B_{1}AC_{1})=90^{\circ}-\alpha-\beta.
Поскольку B_{1}C
— касательная к окружности \omega
, а B_{1}B_{2}
— хорда этой окружности, то
\angle B_{1}C_{1}B_{2}=\angle CB_{1}B_{2}=\angle AB_{1}D=\beta
(см. задачу 87). Значит,
\angle B_{2}C_{1}C_{2}=180^{\circ}-\angle AC_{1}D-\angle AC_{1}B_{1}-\angle B_{1}C_{1}B_{2}=
=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}-\alpha-\beta)-\beta=90^{\circ}.
Следовательно, B_{2}C_{2}
— диаметр окружности \omega
.