6902. Обозначим через a
, b
, c
длины сторон некоторого треугольника. Докажите, что
a^{2}(b+c-a)+b^{2}(a+c-b)+c^{2}(a+b-c)\leqslant3abc.
Решение. По неравенству треугольника
b+c-a\gt0,~a+c-b\gt0,~a+b-c\gt0,
а так как
(a-b)^{2}\geqslant0,~(b-c)^{2}\geqslant0,~(c-a)^{2}\geqslant0,
то
(b-c)^{2}(b+c-a)\geqslant0,~(c-a)^{2}(c+a-b)\geqslant0,~(a-b)^{2}(a+b-c)\geqslant0.
Сложив почленно эти неравенства, получим, что
6abc-2a^{2}(b+c-a)-2b^{2}(a+c-b)-2c^{2}(a+b-c)\geqslant0,
откуда
a^{2}(b+c-a)+b^{2}(a+c-b)+c^{2}(a+b-c)\leqslant3abc.