6904. Постройте прямоугольный треугольник по данной гипотенузе c
, если известно, что медиана, проведённая к гипотенузе, есть среднее геометрическое катетов.
Решение. Пусть катеты треугольника равны a
и b
, высота, опущенная на гипотенузу, равна h_{c}
, медиана, проведённая к гипотенузе, равна m_{c}
, а площадь треугольника равна S
. Тогда
m_{c}^{2}=ab,~S=\frac{ab}{2}=\frac{m_{c}^{2}}{2}=\frac{ch_{c}}{2},~
а так как m_{c}=\frac{c}{2}
(см. задачу 1109), то \frac{c^{2}}{8}=\frac{ch_{c}}{2}
. Отсюда находим, что h_{c}=\frac{c}{4}
.
Таким образом, задача сводится к построению прямоугольного треугольника по данной гипотенузе и высоте, опущенной на гипотенузу. Далее см. задачу 241.