6934. Углы при одном из оснований трапеции равны 86^{\circ}
и 4^{\circ}
, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции равны 4 и 1. Найдите основания трапеции.
Ответ. 3 и 5.
Решение. Пусть M
и N
середины боковых сторон соответственно AB
и CD
трапеции ANCD
, K
и L
— середины оснований BC
и AD
соответственно, а углы при вершинах A
и D
равны соответственно 4^{\circ}
и 86^{\circ}
. Предположим, что MN=4
, KL=1
и AD\gt BC
.
Обозначим AD=x
, BC=y
. Отрезок MN
— средняя линия трапеции, поэтому
MN=\frac{1}{2}(AD+BC)=\frac{1}{2}(y+x).
Сумма углов при основании трапеции равна 90^{\circ}
, поэтому отрезок, соединяющий середины оснований равен их полуразности (см. задачу 1227), значит,
KL=\frac{1}{2}(AD-BC)=\frac{1}{2}(y-x).
Из системы
\syst{\frac{1}{2}(y+x)=4\\\frac{1}{2}(y-x)=1\\}
находим, что x=3
и y=5
.