6937. Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки A
и B
лежат на первой окружности, точки C
и D
— на второй. При этом AC
и BD
— общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB
и CD
.
Ответ. 30.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей радиусов 12 и 20 соответственно, K
— точка касания окружностей, а прямые AC
и BD
пересекаются в точке P
. Тогда точки P
, O_{1}
, O_{2}
и K
лежат на биссектрисе угла APB
. При этом
O_{1}O_{2}=O_{1}K+O_{2}K=12+20=32
(см. задачу 1758), отрезки AB
и CD
перпендикулярны прямой O_{1}O_{2}
и делятся ею пополам (см. задачу 1180).
Пусть F
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O_{1}
на радиус O_{2}C
второй окружности. Тогда AO_{1}FC
— прямоугольник, поэтому
O_{2}F=O_{2}C-FC=O_{2}C-O_{1}O_{2}=20-12=8,
AC=O_{1}F=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{2}F^{2}}=\sqrt{32^{2}-8^{2}}=8\sqrt{15}.
Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из точки A
на прямую CD
. Тогда расстояние между параллельными прямыми AB
и CD
равно длине отрезка AH
. Поскольку AC\parallel O_{1}F
и AH\parallel O_{1}O_{2}
, то \angle CAH=\angle FO_{1}O_{2}
, значит,
\frac{AH}{AC}=\cos\angle CAH=\cos\angle FO_{1}O_{2}=\frac{O_{1}F}{O_{1}O_{2}},
откуда находим, что
AH=\frac{AC\cdot O_{1}F}{O_{1}{O_{2}}}=\frac{8\sqrt{15}\cdot8\sqrt{15}}{32}=30.