6948. На плоскости зафиксированы луч с началом A
и точка P
вне прямой, содержащей этот луч. На луче выбирают переменную точку K
, затем на продолжении отрезка AK
за точку K
отмечают точку N
так, что NK=1
, а на прямой PK
отмечают точку M
(отличную от K
) так, что NM=1
. Докажите, что все прямые MN
, полученные таким образом, касаются одной окружности.
Решение. Через точку P
проведём луч, сонаправленный с данным, и на нём отложим отрезок PP'=1
(т. е. P'
— образ точки P
при параллельном переносе на вектор \overrightarrow{KN}
). Рассмотрим окружность \Omega
с центром P'
и радиусом, равным расстоянию от этой точки до прямой, содержащей данный луч. Докажем, что все указанные прямые MN
касаются этой окружности. Для этого достаточно доказать, что окружность \Omega
вписана в угол KNL
, смежный с углом ANM
, т. е., что луч NP'
— биссектриса угла KNL
.
Четырёхугольник KPP'N
— параллелограмм, поэтому P'N\parallel PM
. Значит,
\angle P'NL=\angle PMN=\angle KMN=\angle MKN=\angle P'NK.
Что и требовалось доказать.