6963. В равнобедренном треугольнике ABC
с тупым углом при вершине B
проведена высота AH
. Из точки H
опущены перпендикуляры HM
и HK
на прямые AC
и AB
соответственно.
а) Докажите, что AM=MK
.
б) Найдите MK
, если AB=5
, AC=8
.
Ответ. \frac{72}{25}
.
Решение. а) Отрезок HM
— высота прямоугольного треугольника ACH
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
\angle AHM=\angle ACH=\angle BAM=\angle KAM.
Из точек M
и K
отрезок AH
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AH
. Вписанные в эту окружность углы KHM
и KAM
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle MHK=\angle KAM=\angle AHM.
Равные вписанные углы MHK
и AHM
опираются на равные хорды, следовательно, MK=AM
.
б) Обозначим \angle MHK=\angle BAC=\alpha
. Пусть BP
— высота треугольника ABC
. Тогда P
— середина AC
,
BP=\sqrt{AB^{2}-AP^{2}}=\sqrt{25-16}=3,~\sin\alpha=\frac{BP}{AB}=\frac{3}{5},
AH=AC\sin\angle ACH=AC\sin\alpha=8\cdot\frac{3}{5}=\frac{24}{5}.
Из прямоугольного треугольника AMH
находим, что
AM=AH\sin\angle AHM=AH\sin\alpha=\frac{24}{5}\cdot\frac{3}{5}=\frac{72}{25}.
Следовательно, MK=AM=\frac{72}{25}
.